$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $12$ घन इकाई है। $\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ किनारों वाले चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन ............. घन इकाई होगा।

यदि $\bar{u}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}, \bar{v}=3 \hat{\imath}+\hat{k}$ और $\bar{w}=\hat{\jmath}-\hat{k}$ है,तो $\bar{u} \times \bar{v}, \bar{u}+\bar{w}$ और $\bar{v}+\bar{w}$ को को-टर्मिनस किनारों के रूप में रखने वाले समानांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।

शून्यतर सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के लिए,प्रतिबंध $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$ तभी और केवल तभी सत्य है जब:

यदि सदिश $2 \bar{i} + 4 \bar{j} - 3 \bar{k}$,$-\bar{i} + 2 \bar{j} + 3 \bar{k}$ और $p \bar{i} - 2 \bar{j} + \bar{k}$ समतलीय हैं,तो सदिश $9p \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k}$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसका किनारा इकाई सदिशों $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = \frac{1}{2}$ है,तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी किनारे $\bar{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\bar{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,और $\bar{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं,$1$ घन इकाई है। यदि $\theta$,$\bar{u}$ और $\bar{w}$ के बीच का कोण है,तो $\cos \theta$ का मान है: